<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\newcommand{\un}{\underline}
\parindent=0pt
\begin{document}

{\bf Question}

\begin{description}
\item[(i)]
$\ds\int 3x^2 \,dx$

\item[(ii)]
$\ds\int (x^3-3x^2+8x+7) \,dx$

\item[(iii)]
$\ds\int_1^3 (x^2+3x) \,dx$

\item[(iv)]
$\ds\int_0^2 (x^2-2x) \,dx$

\item[(v)]
$\ds\int_2^3 (x^2-2x) \,dx$

\item[(vi)]
$\ds\int_0^3 (x^2-2x) \,dx$
\end{description}
\medskip

{\bf Answer}

(i)

$\ds\int 3x^2 \,dx=x^3+c$ (standard power rule)

(ii)

$\ds\int (x^3-3x^2+8x+7)
\,dx=\ds\frac{x^2}{4}-x^3+\ds\frac{8x^2}{2}+7x+c=\ds\frac{x^4}{4}-x^3+4x^2+7x+c$
(standard power rule)

(iii)

$\begin{array} {rcl} \ds\int_1^3 (x^2+3x) \,dx &amp; = &amp;
\left[\ds\frac{x^3}{3}+\ds\frac{3x^2}{2}\right]_1^3\\ &amp; = &amp;
\left(\ds\frac{(3)^3}{3}+\ds\frac{3(3)^2}{2}\right)-\left(\ds\frac{1}{3}+\ds\frac{3}{2}\right)=\un{20
\ds\frac{2}{3}} \end{array}$

(iv)

$\begin{array} {rcl} \ds\int_0^2 (x^2-2x) \,dx &amp; = &amp;
\left[\ds\frac{x^3}{8}-\ds\frac{2x^2}{2}\right]_0^2\\ &amp; = &amp;
\left[\ds\frac{x^3}{3}-x^2\right]_0^2\\ &amp; = &amp;
\left(\ds\frac{8}{3}-4\right)-(0-0)=\un{-1\ds\frac{1}{3}}\end{array}$

(v)

$\begin{array} {rcl} \ds\int_2^3 (x^2-2x) \,dx &amp; = &amp;
\left[\ds\frac{x^3}{3}-x^2\right]_2^3\\ &amp; = &amp;
\left(\ds\frac{27}{3}-9\right)-\left(\ds\frac{8}{3}-4\right) =
\un{1\ds\frac{1}{3}} \end{array}$

(vi)

$\ds\int_0^3 (x^2-2x) \,dx=\ds\int_0^2 (x^2-2x)+\ds\int_2^3
(x^2-2x) = (iv)+(v)=\un{0}$

(by addition property of integrals)

or longhand:

$\ds\int_0^3 (x^2-2x)
\,dx=\left[\ds\frac{x^3}{3}-x^3\right]_0^3=\left(\ds\frac{27}{3}-9\right)-(0-0)=\un{0}$

PICTURE \vspace{1in}
\end{document}
</pre></body></html>