\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\begin{document}
\parindent=0pt


{\bf Question}


A pdf is defined by

$$f(x,y)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{4}(x+2y) & {\rm if}\ 0
< x < 2\ {\rm and}\ 0 < y < 1\\ 0 & {\rm otherwise}
\end{array} \right.$$

\begin{description}
\item[(a)]
Find the correlation coefficient between $X$ and $Y$.

\item[(b)]
Determine the value of ${\rm var}(2X-3Y+8)$.

\end{description}



\vspace{.25in}

{\bf Answer}

\begin{eqnarray*}
E(XY) & = & \ds\frac{1}{4}\ds\int_0^2 \! \ds\int_0^1 xy(x+2y)
\,dy\,dx\\ & = & \ds\frac{1}{4}\ds\int_0^2 x \,dx \ds\int_0^1
(xy+2y^2) \,dy\\ & = & \ds\frac{1}{4}\ds\int_0^2
\left(\ds\frac{x^2}{2} + \ds\frac{2x}{3}\right) \,dx\\ & = &
\ds\frac{2}{3} \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
E(X^2) & = & \ds\int_0^2 x^2 \ds\frac{x+1}{4} \,dx =
\ds\frac{1}{4}\left.\left(\ds\frac{x^4}{4}+\ds\frac{x^3}{3}\right)\right|_0^2\\
& = & \ds\frac{1}{4} \left(4+\ds\frac{8}{3}\right) =
\ds\frac{1}{4} \cdot \ds\frac{20}{3} = \ds\frac{5}{3}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
E(Y^2) & = & \ds\int_0^1 y^2 \left(\ds\frac{1}{2}+y\right)\,dy =
\ds\frac{1}{2}\left.\left(\ds\frac{y^3}{3}+\ds\frac{y^4}{4}\right)\right|_0^1\\
& = & \ds\frac{1}{6} + \ds\frac{1}{4} = \ds\frac{10}{24} =
\ds\frac{5}{12}
\end{eqnarray*}

$E(X)=\ds\int_0^2 x \ds\frac{x+1}{4} \,dx =
\ds\frac{1}{4}\left.\left(\ds\frac{x^3}{3}+\ds\frac{x^2}{2}\right)\right|_0^2
= \ds\frac{1}{4} \left(\ds\frac{8}{3}+2\right) = \ds\frac{1}{4}
\cdot \ds\frac{14}{3} = \ds\frac{7}{6}$

$E(Y)=\ds\int_0^1 y \left(\ds\frac{1}{2}+y\right)\,dy =
\left.\left(\ds\frac{y^2}{4}+\ds\frac{y^3}{3}\right)\right|_0^1 =
\ds\frac{1}{4} + \ds\frac{1}{3} = \ds\frac{7}{12}$

Therefore ${\rm
var}(X)=\ds\frac{5}{3}-\left(\ds\frac{7}{6}\right)^2 =
\ds\frac{11}{36}$ \ \ ${\rm
var}(Y)=\ds\frac{5}{12}-\left(\ds\frac{7}{12}\right)^2 =
\ds\frac{11}{144}$

Therefore $\ds \rho_{XY}=\frac{\frac{2}{3}-\frac{7}{6} \cdot
\frac{7}{12}}{\sqrt{\frac{11}{36} \cdot \frac{11}{144}}} =-
\ds\frac{1}{11}$

${\rm var}(aX+bY+c)=a^2 {\rm var}(X)+b^2 {\rm var}(Y)+2ab {\rm
cov}(X,Y)$

Therefore \begin{eqnarray*} {\rm var}(2X-3Y+8) & = & 4\cdot
\ds\frac{11}{36}+(-3)^2
\ds\frac{11}{144}+2(2)(-3)(-\frac{1}{72})\\ & = & \ds\frac{11}{9}
+ \ds\frac{11}{6} + \ds\frac{1}{6}=2.076 \end{eqnarray*}


\end{document}
