\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\newcommand{\un}{\underline}
\newcommand{\undb}{\underbrace}
\newcommand{\pl}{\partial}
\parindent=0pt
\begin{document}

{\bf Question}

Verify the following integral.

$\ds\int_0^{\infty} \ds\frac{dx}{(x+1)\sqrt{x}}=\pi$

\medskip

{\bf Answer}

$J=\ds\int_C\ds\frac{dz}{(z+1)\sqrt{z}}$ where $C$ is the contour

PICTURE \vspace{2in}

Pole at $z=-1$. Branch cut from branch point at $z=0$ chosen to
lie along $0 \to \infty$.

$J=2\pi i \times \rm{residue\ at}\ z=-1)=2\pi i \cdot
\ds\frac{1}{\sqrt{-1}}=2\pi$

Now

$J=\ds\int_{\stackrel{\Gamma_1}{radius\
R}}+\ds\int_{\stackrel{\Gamma_2}{radius\
\epsilon}}+\ds\int_{\Gamma_3}+\ds\int_{\Gamma_4}=2\pi$

Now $\ds\int_{\Gamma_1}$ and $\ds\int_{\Gamma_2} \to 0$ as $R \to
\infty,\ \epsilon \to 0$


\begin{eqnarray*} J & = & \undb{\ds\int_0^{\infty} \ds\frac{dz}{(z+1)\sqrt{z}}}+
\undb{\ds\int_{+\infty}^{0} \ds\frac{dz}{(z+1)\sqrt{z}}}\\ & & \ \
\ \ \ \ z=x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ z=xe^{-2\pi i}\\ & = &
\ds\int_0^{\infty} \ds\frac{dx}{(x+1)\sqrt{x}}+\ds\int_{\infty}^0
\ds\frac{dx e^{-2\pi i}}{(x+1)e^{i\pi}\sqrt{x}}\\ & = & 2
\ds\int_0^{\infty} \ds\frac{dx}{(x+1)\sqrt{x}}\\ & = & 2\pi\\ &
\Rightarrow &
\un{\ds\int_0^{\infty}\ds\frac{dx}{(x+1)\sqrt{x}}=\pi}
\end{eqnarray*}

\end{document}
