\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\newcommand{\undb}{\underbrace}
\newcommand{\pl}{\partial}
\parindent=0pt
\begin{document}

NOTE REFERENCE TO QUESTION 4

{\bf Question}

Verify the following integral.

$\ds\int_0{\infty}\,dx \ds\frac{(\log
x)^2}{x^4+1}=\ds\frac{3\pi^3\sqrt{2}}{16}$
\medskip

{\bf Answer}

Use contour of Q4.

$J=\ds\oint_C \ds\frac{dz\ (\log z)^2}{(z^4 +1)}$

\begin{eqnarray*} J & = & 2\pi i \times
[\rm{res}(e^{\frac{i\pi}{4}})+\rm{res}((e^{\frac{3i\pi}{4}}))]\\ &
= & 2\pi i \times\left\{\lim_{z \to e^{\frac{i\pi}{4}}}
\left[\ds\frac{(z-e^{\frac{i\pi}{4}})(\log
z)^2}{(z^4+1)}\right]\right.\\ & &  \left.+\lim_{z \to
e^{\frac{3i\pi}{4}}}\left[\ds\frac{(z-e^{\frac{3i\pi}{4}})(\log
z)^2}{(z^4+1)^2}\right]\right\}\\ & & \rm{use\ l'Hopital}\\ & = &
2\pi i \left\{
\ds\frac{[\rm{Log}(e^{\frac{i\pi}{4}})]^2}{4e^{\frac{3i\pi}{4}}}
+\ds\frac{[\rm{Log}(e^{\frac{3i\pi}{4}})]^2}{4e^{\frac{9i\pi}{4}}}\right\}\\
& = & \ds\frac{2\pi
i}{4}e^{\frac{-3i\pi}{4}}\left\{\left(\ds\frac{i\pi}{4}\right)^2
+\left(\ds\frac{3i\pi}{4}\right)^2i\right\}\\ & = & \ds\frac{\pi
i}{2}\ds\frac{(-1-i)}{\sqrt{2}}(i+9i)\left(-\ds\frac{\pi^2}{16}\right)\\
& = & \ds\frac{-5\pi^3\sqrt{2}}{32}-\ds\frac{i\pi^3}{8}\sqrt{2}
\end{eqnarray*}

Now
$J=\ds\int_{-R}^{-\epsilon}+\ds\int_{\Gamma_1}+\ds\int_{\epsilon}^R+\ds\int_{\Gamma_2}$

Take limit as $R \to \infty,\ \epsilon \to 0\ \ ds\int_{\Gamma_1}$
and $\ds\int_{\Gamma_2} \to 0$



Thus

$\ds\int_{\infty}^0
\ds\frac{d(xe^{i\pi})}{[(xe^{i\pi})^4+1]}\undb{[\log(xe^{i\pi})]^2}+
\ds\int_0^{\infty}\ds\frac{dx\ (\log
x)^2}{x^4+1}=\ds\frac{-\pi^3\sqrt{2}}{32}-\ds\frac{i\pi^3\sqrt{2}}{8}$

\hspace{1in} $[\log x+i\pi]^2$

$\Rightarrow 2\ds\int_0^{\infty} \ds\frac {dx\ \log ^2
x}{x^4+1}+2\pi i \ds\int_0^{\infty} \ds\frac{dx\ \log
x}{(x^4+1)}-\pi^2 \ds\int_0^{\infty}
\ds\frac{dx}{x^4+1}=\ds\frac{-5}{32}\pi^3\sqrt{2}-\ds\frac{i\pi^3}{8}\sqrt{2}$

\newpage

So

$2\ds\int_0^{\infty} \ds\frac{dx\ \log ^2x}{x^4+1}+2\pi i \times
(Q4) -\pi^2\ds\frac{\pi}{2\sqrt{2}}\ (\rm{see\
Q4})=\ds\frac{-5\pi^3\sqrt{2}}{32}-\ds\frac{i\pi^3\sqrt{2}}{8}$

$2\ds\int_0^{\infty}\ds\frac{dx\ (\log x)^2}{x^4+1}+2\pi i \times
\left(\ds\frac{-\pi^2
\sqrt{2}}{16}\right)-\ds\frac{\pi^3}{2\sqrt{2}}=
\ds\frac{-5\pi^3\sqrt{2}}{32}-\ds\frac{i\pi^3\sqrt{2}}{8}$

$2\ds\int_o^{\infty}\ds\frac{dx\ (\log
x)^2}{x^4+1}-i\ds\frac{\pi^3\sqrt{2}}{8}-\ds\frac{\pi^3}{2\sqrt{2}}=
\ds\frac{-5\pi^3\sqrt{2}}{32}-\ds\frac{i\pi^3\sqrt{2}}{8}$

$\Rightarrow 2\ds\int_0^{\infty} \ds\frac{dx\ (\log
x)^2}{x^4+1}=\ds\frac{3}{32}\pi^3 \sqrt{2}$

$\Rightarrow \ds\int_0^{\infty} \ds\frac{dx\ (\log
x)^2}{(x^4+1)}=\ds\frac{3\pi^3\sqrt{2}}{64}$


\end{document}
