\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\parindent=0pt
\begin{document}

NOTE REFERENCE TO QUESTION 4

{\bf Question}

Verify the following integral.

$\ds\int_0^{\infty} \ds\frac{\log x}{(x^2+1)^2}=-\ds\frac{\pi}{4}$

\medskip

{\bf Answer}

$J=\ds\oint_C \ds\frac{dz\ \log z}{(z^2+1)^2}$ where $C$ is as in
Q4.

This has double poles at $z=\pm i$.

\begin{eqnarray*} J & = & 2\pi i \times (\rm{residue\ at}+i)\\ & =
& 2\pi i \lim_{z \to
i}\left[\ds\frac{1}{1!}\ds\frac{d}{dz}\left\{\ds\frac{(z-i)^2 \log
z}{(z+i)^2 (z-i)^2}\right\}\right]=\cdots=\\ & = &
\left(\ds\frac{\pi}{8}+\ds\frac{i}{4}\right)2\pi i\\ J & = &
\ds\int_{-R}^{-\epsilon}+\ds\int_{\Gamma_1}+\ds\int_{\epsilon}^R+\ds\int_{\Gamma_2}\
\rm{as\ above}. \end{eqnarray*}

Consider $\lim_{R \to \infty}$ and $\lim_{\epsilon \to 0},\
\ds\int_{\Gamma_1}$ and $\ds\int_{\Gamma_2} \rightarrow 0$

$J=\ds\int_{\infty}^0
\ds\frac{d(xe^{i\pi})\log(xe^{i\pi})}{((xe^{i\pi})^2+1)^2}+\ds\int_0^{\infty}
\ds\frac{dx\ \log
x}{(x^2+1)^2}=\left(\ds\frac{\pi}{8}+\ds\frac{i}{4}\right)2\pi i$

$\Rightarrow 2\ds\int_0^{\infty} \ds\frac{dx\ \log
x}{(x^2+1)^2}+i\pi
\ds\int_0^{\infty}\undb{\ds\frac{dx}{(x^2+1)^2}}=\left(\ds\frac{\pi}{8}+\ds\frac{i}{4}\right)2\pi
i=-\ds\frac{\pi}{2}+i\ds\frac{\pi^2}{4}$

\ \ \ simple residue integral with double poles at $x=\pm i
\rightarrow$ do using $=\ds\frac{\pi}{4}$

PICTURE \vspace{1in}

$\Rightarrow 2\ds\int_0^{\infty} \ds\frac{dx\ \log
x}{(x^2+1)^2}+\ds\frac{i\pi^2}{4}=-\ds\frac{\pi}{2}+\ds\frac{i\pi^2}{4}$

$\Rightarrow \ds\int_0^{\infty} \ds\frac{dx\ \log
x}{(x^2+1)^2}=-\ds\frac{\pi}{4}$
\end{document}
