\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\newcommand{\un}{\underline}
\newcommand{\undb}{\underbrace}
\newcommand{\pl}{\partial}
\parindent=0pt
\begin{document}

{\bf Question}

Verify the following integral.

$\ds\frac{1}{2\pi i} \ds\int_{a-i\infty}^{a+i\infty} \,dz
\ds\frac{\exp(zt)}{\sqrt{z}}=\ds\frac{1}{\sqrt{\pi t}},\ a>0$
\medskip

{\bf Answer}

$I=\ds\frac{1}{2\pi i}\ds\int_{a-i\infty}^{a+i\infty} \,dz
\ds\frac{e^{zt}}{\sqrt{z}}$

PICTURE \vspace{2in} Now $Re(zt)<0$ for $t>0\ \ Re(z)<0$

Thus complete contour as:

PICTURE \vspace{2in}

and consider

$J=\ds\int_{a-i\infty}^{a+i\infty}+\ds\int_{\Gamma_1}+\ds\int_{Re^{i\pi}}^{\epsilon
e{i\pi}}+\ds\int_{\Gamma_2}+\ds\int_{+\epsilon
e^{-i\pi}}^{+Re^{-i\pi}}=0$

By Cauchy.

Now consider $\lim_{R \to \infty}J$

$\lim_{R \to
\infty}J=\ds\int_{a-i\infty}^{a+i\infty}+0+\ds\int_{\infty
e^{i\pi}}^{0e^{i\pi}}+0+\ds\int_{0 e^{-i\pi}}^{\infty
e^{-i\pi}}=0$

By standard tricks.

\newpage
So

\begin{eqnarray*} 2\pi i I & = & -\ds\int_{\infty
e^{i\pi}}^{0e^{i\pi}}-\ds\int_{0 e^{-i\pi}}^{\infty e^{-i\pi}}\\ &
= & -\undb{\ds\int_{\infty}^0
\ds\frac{e^{i\pi}e^{xe^{i\pi}t}}{\sqrt{xe^{i\pi}}}\,dx}-\undb{\ds\int_0^{\infty}
\ds\frac{e^{-i\pi}e^{xe^{-i\pi}t}}{\sqrt{xe^{-i\pi}}}\,dx}\\ & & \
\ \ \ \ \ \ z=xe^{i\pi}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
z=xe^{-i\pi}\\ & = &
\ds\int_0^{\infty}\ds\frac{e^{-xt}}{\sqrt{x}}dx[e^{i\frac{\pi}{2}}-e^{-\frac{\pi}{2}}]\\
I & = & \ds\int_0^{\infty}
\ds\frac{e^{-xt}}{\sqrt{x}}dx\ds\frac{2i}{2\pi i}\\ & = &
\ds\frac{2}{\pi}\ds\int_0^{\infty}du\ e^{-tu^2}\\ & = &
\ds\frac{2}{\pi}\ds\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{t}}\\ & = &
\ds\frac{1}{\sqrt{\pi t}}\end{eqnarray*}

\end{document}