\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\newcommand{\un}{\underline}
\parindent=0pt
\begin{document}

{\bf Question}

Find the general solution of the following differential equations

\begin{description}
\item[(i)]
$x\ds\frac{dy}{dx}+y=1$

\item[(ii)]
$\ds\frac{dy}{dx}=2xy$

\item[(iii)]
$y(x+3)+x(3-y)\ds\frac{dy}{dx}=0$

\item[(iv)]
$\ds\frac{dy}{dx}=\ds\frac{1-y}{1+x}$

\item[(v)]
$y\sin x\ds\frac{dy}{dx}=\cos x+\sin x$

\item[(vi)]
$3e^{x+y}\ds\frac{dy}{dx}=2$

\end{description}

\medskip

{\bf Answer}
\begin{description}
\item[(i)]
${}$

$x\ds\frac{dy}{dx}+y=1$.

Rearrange to get $\ds\frac{dy}{dx}=\ds\frac{1-y}{x}$

Variables separable $\leftarrow\ \ \ \Rightarrow
\left(\ds\frac{1}{1-y}\right)\ds\frac{dy}{dx}=\ds\frac{1}{x}$

Thus

$\begin{array} {rcl} & &
\ds\int\ds\frac{dy}{(1-y)}=\ds\int\ds\frac{dx}{x}\\ & \Rightarrow
& -\ln(1-y)=\ln(x)+c,\ \ \ \ \rm{let} c=\ln k\\ & \Rightarrow &
\ln[(1-y)^{-1}]=\ln(kx)\\ & \Rightarrow & \ds\frac{1}{1-y}=kx\\ &
\Rightarrow & \un{kx(1-y)=1} \end{array}$

\newpage
\item[(ii)]
${}$

$\ds\frac{dy}{dx}=2xy$. Rearrange to get
$\ds\frac{1}{y}\ds\frac{dy}{dx}=2x$

variables separable $\begin{array} {crcl} \Rightarrow &
\ds\int\ds\frac{dy}{y} & = & \ds\int 2x \,dx\\ \Rightarrow & \ln y
& = & x^2+c\\ \Rightarrow  & y & = & e^{x^2+c} \end{array}$

\item[(iii)]
${}$

$y(x+3)+x(3-y)\ds\frac{dy}{dx}=0$

Rearrange to get,

$$\left(\ds\frac{3-y}{y}\right)\ds\frac{dy}{d}+\ds\frac{x+3}{x}=0,$$

\newpage
i.e., variables separable. Thus

$\begin{array} {crcl} & \ds\int\ds\frac{3-y}{y} \,dy & = &
-\ds\int\,dx\ds\frac{(x+3)}{x}\\ \rm{or} & \ds\int
\left(1-\ds\frac{3}{y}\right)\,dy & = &
\ds\int\left(1+\ds\frac{3}{x}\right)\,dx\\ \Rightarrow & y-3\ln y
& = & x+3\ln x+c\\ & \rm{set} c=3 \ln k\\ \Rightarrow & y-x & = &
3\ln y+3 \ln x + 3 \ln k\\ \Rightarrow & (y-x) & = & 3\ln x y k\\
\Rightarrow & (kxy)^3 & = & e^{y-x} \end{array}$

\item[(iv)]
${}$

$\ds\frac{dy}{dx}=\ds\frac{1-y}{1+x}$.

Rearrange to get

$$\ds\frac{1}{1-y}\ds\frac{dy}{dx}=\ds\frac{1}{(1+x)} \Rightarrow
\rm{variables\ separable}$$

$\begin{array} {crcl} \Rightarrow & \ds\int\ds\frac{dy}{1-y} & = &
\ds\int\ds\frac{dy}{1+x}\\ \Rightarrow & -\ln(1-y) & = & \ln(1+x)+
c\\ & \rm{set}\ c=\ln k\\ \Rightarrow &
\ln\left[\ds\frac{1}{(1-y)}\right] & = & \ln(x+1)+\ln k\\
\Rightarrow & \ds\frac{1}{(1-y} & = & k(x+1)\\ \Rightarrow &
k(x+1)(1-y) & = & 1 \end{array}$

\item[(v)]
${}$

$y\sin x \ds\frac{dy}{dx}=\cos x +\sin x$

Rearrange to get

$$y\ds\frac{dy}{dx}=\ds\frac{\cos c+\sin x}{\sin x}$$

i.e., variables separable

\newpage
Remember: $\cot x=\ds\frac{\cos x}{\sin x}=\ds\frac{1}{\tan x}$

$\begin{array} {rcl} \Rightarrow \ds\int y \,dy & = & \ds\int
\,dx(1+\cot x)\\ \ds\frac{y^2}{2} & = & x+\ln\sin x+c
\end{array}$

$\ds\int \cot x \,dx=\ln \sin x$ standard integral

\item[(vi)]
${}$

$3e^{x+y}\ds\frac{dy}{dx}=2$.

Rearrange to get $3e^y\ds\frac{dy}{dx}=2e^{-x}$

variables separable.

Thus

$\begin{array} {crcl}  & 3\ds\int e^y \,dy & = & 2\ds\int e^{-x}
\,dx\\ \Rightarrow & 3e^y & = & -2e^{-x}+c\\ \Rightarrow &
3e^{x+y}+2 & = & ce^x \end{array}$

\end{description}
\end{document}
