\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\newcommand{\un}{\underline}
\parindent=0pt
\begin{document}

{\bf Question} Find a reduction formula for
$I_N=\ds\int_0^{\infty} \ds\frac{\,dx}{(1+x^2)^n}$. Work out the
value of $I_1$.

Hence evaluate this integral for arbitrary positive integer $n$,
\medskip

{\bf Answer} $I_n=\ds\int_0^{\infty} \ds\frac{\,dx}{(x^2+1)^n}$

(Assume it converges for $n$ positive and $>1$)

Integrate by parts with

$$\begin{array} {cc} u=\ds\frac{1}{(1+x^2)^n} &
\ds\frac{dv}{dx}=1\\ \ds\frac{du}{dx}=\ds\frac{-n \times
2x}{(1+x^2)^{n+1}} & v=x\end{array}$$

Therefore $\begin{array} {rcl} I_n & = &
\left[\ds\frac{x}{(1+x^2)^n}\right]_0^{\infty}-\ds\int_0^{\infty}
\,dx x \cdot \ds\frac{(-2nx)}{(1+x^2)^{n+1}}\\ & = & 0 (if n>1)
+2n\ds\int_0^{\infty} \ds\frac{\,dx x^2}{(1+x^2)^{n+1}}
\end{array}$

So $I_n=2n\ds\int_0^{\infty} \ds\frac{\,dx x^2}{(1+x^2)^{n+1}}$

What now? Use a similar trick to Q3.

$$x^2=(1+x^2)-1$$

So

$\begin{array} {rcl} I_n & = & 2n\ds\int_0^{\infty} \ds\frac{\,dx
[(1+x^2)-1]}{(1+x^2)^{n+1}}\\ & = & 2n\ds\int_0^{\infty}
\ds\frac{\,dx
(1+x^2)}{(1+x^2)^{n+1}}-2n\ds\int_0^{\infty}\ds\frac{\,dx}{(1+x^2)^{n+1}}\\
& = & 2n\underbrace{\ds\int_0^{\infty}
\ds\frac{\,dx}{(1+x^2)^n}}-2n\underbrace{\ds\int_0^{\infty}
\ds\frac{\,dx}{(1+x^2)^{n+1}}} \end{array}$

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $I_n$ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $I_{n+1}$

Therefore $I_n=2nI_n-2nI_{n+1}$

or $I_{n+1}=\ds\frac{(2n-1)}{2n}I_n$

This can be rewritten by putting $n+1 \rightarrow n$

or $\begin{array} {l}
I_n=\ds\frac{(2(n-1)-1)}{2(n-1)}I_{n-1}\\\un{I_n=\left(\ds\frac{2n-3}{2n-2}\right)I_{n-1}}\
\ \ (\star) \end{array}$

\newpage
What's $I_1$?

$$I_1=\ds\int_0^{\infty}\ds\frac{\,dx}{(1+x^2)^1}=\ds\int_0^{\infty}\ds\frac{\,dx}{(1+x^2)}=[\arctan
x]_0^{\infty}+\ds\frac{\pi}{2}$$

Hence applying $(\star)$ recursively:

$I_n=\left(\ds\frac{2n-3}{2n-2}\right)I_{n-1}$

$I_{n-1}=\left(\ds\frac{2n-5}{2n-4}\right)I_{n-2}$

$I_{n-2}=\left(\ds\frac{2n-7}{2n-6}\right)I_{n-3}$

$I_{n-3}=......... etc.$

\ \ \ \ \ \ \ \vdots

\ \ \ \ \ \ \ \vdots

$I_2=\left(\ds\frac{2 \times 2-3}{2 \times
2-2}\right)I_1=\ds\frac{1}{2}\ds\frac{\pi}{2}$

Recursion. This assumes that $n$ is a \un{positive integer}.

Hence

$$\un{I_n=\ds\frac{(2n-3)}{(2n-2)} \times \ds\frac{(2n-5)}{(2n-4)}
\times \ds\frac{(2n-7)}{(2n-6)} \times \cdots \times
\ds\frac{1}{2} \times \ds\frac{\pi}{2}}$$
\end{document}