\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\newcommand{\un}{\underline}
\parindent=0pt
\begin{document}

{\bf Question}

Find a reduction formula for $I_n=\ds\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n
\theta d\theta$ and evaluate $I_6$ and $I_7$.
\medskip

{\bf Answer}

$I_n=\ds\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n \theta \,d\theta\ \ (\star)=
\ds\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-1} \theta \sin \theta \,d\theta$

Integrate by parts

$$u=\sin ^{n-1} \theta,\ \ds\frac{dv}{d\theta}=\sin \theta$$

$\Rightarrow \ds\frac{du}{d\theta}=(n-1)\sin^{n-2} \theta \cos
\theta,\ v=-\cos \theta$.

Therefore

$\begin{array} {rcl} I_n & = & [-\sin^{n-1} \theta \cos
\theta]_0^{\frac{\pi}{2}}-(1-n)\ds\int_0^{\frac{\pi}{2}}
\sin^{n-2} \theta \cos^2 \theta d\theta\\ & = & 0 + (n-1)
\ds\int-0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-2} \theta (1-\sin^2 \theta)
d\theta\ \\ & &  \rm{since}\ 1=\sin^2\theta+\cos^2 \theta\\ I_n &
= & (n-1) \ds\int_0^{\frac{\pi}{2}} sin^{n-2} \theta
\,d\theta-(n-1)\ds\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n \theta \,d\theta\\
\Rightarrow I_n & = & (n-1)I_{n-1}-(n-1)I_n \end{array}$

by comparison with $(\star)$

So solve for $I_n$

$$nI_n=(n-1)I_{n-2} \Rightarrow I_n=\ds\frac{9n-1)}{n}I_{n-2}$$

Works for $(n>1)$. Reduction formula.

$I_6=\ds\frac{5}{6}I_4;\ I_4=\ds\frac{3}{4}I_2;\
I_2=\ds\frac{1}{2}I_0$

What's $I_0$?

$I_0=\ds\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^0 x \,dx =
\ds\int_0^{\frac{\pi}{2}} \,dx = \ds\frac{\pi}{2}$

Thus $I_2=\ds\frac{\pi}{4} \Rightarrow I_4=\ds\frac{3}{4} \times
\ds\frac{\pi}{4} \Rightarrow I_4=\ds\frac{3}{4} \times
\ds\frac{\pi}{4} \Rightarrow I_6=\ds\frac{5}{6} \times
\ds\frac{3}{4} \times \ds\frac{\pi}{4}=\un{\ds\frac{5\pi}{32}}$

$I_7=\ds\frac{6}{7}I_5;\ I_5=\ds\frac{4}{5}I_3;\
I_3=\ds\frac{2}{3}I_1$

What's $I_1$?

$I_1=\ds\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin \theta \,d\theta = \left[-\cos
\theta\right]_0^{\frac{\pi}{2}}=1$

Thus $I_3=\ds\frac{2}{3}\times 1,\ I_5=\ds\frac{4}{5} \times
\ds\frac{2}{3} \times 1,\ I_7=\ds\frac{6}{7} \times \ds\frac{4}{5}
\times \ds\frac{2}{3} \times 1=\un{\ds\frac{16}{35}}$

\end{document}
