\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\newcommand{\un}{\underline}
\parindent=0pt
\begin{document}

{\bf Question}

Solve

$$\ds\frac{d^2x}{dt^2}+2\ds\frac{dx}{dt}+10x=\sin 3t$$

$$\rm{where}\ x=\ds\frac{-6}{37},\
\ds\frac{dx}{dt}=\ds\frac{3}{37},\ \rm{when}\ t=0$$


\medskip

{\bf Answer}

Trial solution is $xAe^{kt}$.

Solve for complementary function+particular integral.

C.F.: Solution of homogeneous equation

$$\ds\frac{d^2x}{dt^2}+2\ds\frac{dx}{dt}+10x =0$$

$x=Ae^{kt}$

$\Rightarrow$ \begin{eqnarray*} k^2+2k+10 & = & 0\\ k & = &
\ds\frac{-2 \pm \sqrt{4-(4\times 1 \times10)}}{2}\\ & = & -1 \pm
\ds\frac{\sqrt{-36}}{2}\\ & = & \un{-1 \pm 3i} \end{eqnarray*}

Thus we have a solution:

$x=Ae^{(-1+3i)t}+Be^{(-1-3i)t}$ $A,\ B$ arbitrary

\un{or}

$x=e^{-t}(C \cos 3t + D \sin 3t)$ $C,\ D$ arbitrary

P.I.: Should try P.I. of

$$x_{PI}=E \cos 3t+F \sin 3t$$

$\ds\frac{dx}{dt}=-3E\sin 3t+3F\cos 3t$

$\ds\frac{d^2x}{dt^2}=-9E\cos 3t-9F\sin 3t$

Substitute into equations;

$-9E\cos 3t-9F\sin 3t+2(-3E\sin 3t+3F\cos 3t)$

$+10E\cos 3t+10F\sin 3t=\sin 3t$

Balance of $\cos 3t$ and $\sin 3t$

$-9E+6F+10E=0\ \ \ (\cos 3t)$

$-9F-6E+10F=1\ \ \ (\sin 3t)$

$E+6F=0\ \ \ (1)$

$-6E+F=1\ \ \ (2)$

$(1)-6\times(2)$:

\begin{center}
$E+6F = 0$

$\un{-36E+6F = 6}$

$37E\ \ \ \ \ =-6$
\end{center}

$$E=-\ds\frac{6}{37},\ F=\ds\frac{1}{37}$$

Therefore $x=x_{CF}+x_{PI}=e^{-t}(C\cos 3t+D\sin 3t)+\ds\frac
{1}{37}\sin 3t-\ds\frac{6}{37}\cos 3t$

Boundary conditions:

$(1)$ $x=1$ when $t=0$:

$\Rightarrow -\ds\frac{6}{37}=e^0(C\cos 0+0)+0-\ds\frac{6}{37}\cos
0$

$\Rightarrow -\ds\frac{6}{37}=C-\ds\frac{6}{37}$

$\Rightarrow C=\un{0}$

Therefore $x=De^{-t}\sin 3t+\ds\frac{1}{37}\sin
3t-\ds\frac{6}{37}\cos 3t$

$(2)$ $\ds\frac{dx}{dt}=D(-e^{-t}\sin 3t+3e^{-t}\cos
3t)+\ds\frac{3}{37}\cos 3t+\ds\frac{18}{37}\sin 3t$

Hence if $\ds\frac{dx}{dt}=\ds\frac{3}{37}$ when $t=0$

$\ds\frac{3}{37}=D(0+3)+\ds\frac{3}{37}+0$

$\Rightarrow \un{D=0}$

Thus total solution is: (CF vanishes!)

$$\un{x=\ds\frac{1}{37}\sin 3t-\ds\frac{6}{37}\cos 3t}$$

\end{document}